作者：D-Sketon（xxx@example.com）

回溯法（Backtracking）是一种系统搜索问题解的方法，核心思想是：从初始状态出发，按照一定规则逐步尝试构造解；当发现当前选择无法得到有效解时，就撤销上一步甚至多步的选择，换一条路径继续尝试。
它本质上是 深度优先搜索 + 剪枝 + 状态重置，常用来解决“搜索所有解”“搜索任意一个解”“在约束条件下求最优解”的问题。

一、回溯法的基本概念

1. 解空间

一个问题所有可能的解构成的集合，称为该问题的解空间。

例如：

• 求集合 {1,2,3} 的全排列，解空间由 3! = 6 个排列组成；
• 求 n 个元素的子集，解空间大小为 2^n；
• n 皇后问题，解空间大小为 n! 左右。

回溯法通常将解空间组织成一棵树，称为解空间树，然后在树上进行深度优先搜索。

2. 两类典型解空间树

• 子集树：每个元素有“选”或“不选”两种可能，例如子集问题、0/1背包问题。
  如果问题规模为 n，子集树最多有 2^n 个叶子节点。
• 排列树：每个位置从剩余元素中选择一个，例如全排列、旅行商问题、N皇后问题。
  如果问题规模为 n，排列树最多有 n! 个叶子节点。

3. 剪枝函数

回溯法不是完全暴力搜索，它会在搜索过程中使用剪枝函数去掉不可能产生解的子树。

剪枝函数分为两类：

• 约束函数：剪掉不满足约束条件的子树。
  例如：N皇后中，当前放置位置会与已有皇后冲突，就不继续搜索。
• 限界函数：剪掉不可能得到最优解的子树。
  例如：0/1背包中，即使把剩余所有物品都装进去，总价值也无法超过当前最优值，就剪掉。

二、回溯法的核心三要素

使用回溯法时，通常围绕三个量展开：

1. 路径：已经做出的选择。
2. 选择列表：当前还可以做出的选择。
3. 结束条件：到达解空间树底部，或者已经找到一个可行解，无法再继续选择。

这三个要素对应回溯算法的递归函数结构。

三、回溯法通用模板

回溯法可以用递归实现，伪代码非常统一：

vector<vector<int>> result;   // 保存所有可行解

void backtrack(vector<int>& path, vector<int>& choices) {
    if (满足结束条件) {
        result.push_back(path);   // 注意：不能直接保存引用
        return;
    }

    for (int choice : choices) {
        if (!is_valid(choice, path)) {
            continue;             // 剪枝
        }

        path.push_back(choice);   // 做选择
        backtrack(path, get_choices(choice));
        path.pop_back();          // 撤销选择
    }
}

C++ 风格的通用模板：

本文2026-09-03首发于Edward's Blog，最后修改于2026-09-03